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<!DOCTYPE html>

<title>Potential (Physik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Potential (Physik)</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Potential (auch Potenzial geschrieben, lat. potentia, „<a href="Macht" title="Macht">Macht</a>, <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a>, <a href="Leistung_(Physik)" title="Leistung (Physik)">Leistung</a>“) ist in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> die Fähigkeit eines <a href="Konservatives_Feld" class="mw-redirect" title="Konservatives Feld">konservativen Kraftfeldes</a>, eine <a href="Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a> zu verrichten. Es beschreibt die Wirkung eines konservativen Feldes auf Massen oder Ladungen unabhängig von deren Größe und <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>. Damit wird eine Rückwirkung des <a href="Kraftfeld" title="Kraftfeld">Probekörpers</a> zunächst ausgeschlossen, kann aber auch gesondert berücksichtigt werden. Als Formelzeichen für das Potential wird meist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy">, der große griechische Buchstabe Phi, benutzt.

In der Mathematik bezeichnet der Begriff Potential ausschließlich ein (<a href="Skalarpotential" title="Skalarpotential">skalares</a> oder <a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">vektorielles</a>) <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Feld</a>, also eine Ortsfunktion insgesamt. In physikalisch-technischen Zusammenhängen wird er hingegen zur Bezeichnung sowohl des Feldes als auch seiner einzelnen Funktionswerte, etwa des <a href="Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">elektrischen</a> oder <a href="Gravitationspotential" class="mw-redirect" title="Gravitationspotential">Gravitationspotentials</a> an der betreffenden Stelle, gebraucht. Im Folgenden wird hauptsächlich auf das physikalische „Potential“ als Feld eingegangen.

In vielen Lehrbüchern wird auch die <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentielle Energie</a> mit „Potential“ bezeichnet<a href="#cite_note-1">[1]</a> und das Formelzeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> der potentiellen Energie gewählt. Ein Potential (im eigentlichen Sinn) ist potentielle Energie pro <a href="Kopplungskonstante" title="Kopplungskonstante">Kopplungskonstante</a>, z. B. <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">elektrische Ladung</a> oder <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a>.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlage:_Das_Kraftfeld">Grundlage: Das Kraftfeld</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kraftfeld_(Physik)" class="mw-redirect" title="Kraftfeld (Physik)">Kraftfeld</a></div>

Nach <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> gilt für eine Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> das Gesetz

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=ma}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ca4e42b7d6d66f52294364928cb5f7c590f514c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.109ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F=ma}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> eine Masse und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> die Beschleunigung ist, welche diese Masse erfährt. Es handelt sich also um eine Kraft, welche auf einen einzelnen Gegenstand ausgeübt wird.

Bei der <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerkraft</a> wirkt jedoch an jedem Punkt im Raum eine Beschleunigung (nach unten), und eine Masse, welche sich irgendwo im Raum befindet, erfährt damit stets eine Kraft in ebendiese Richtung.

Größen solcher Art, die sich nicht nur an einem einzelnen Ort befinden, sondern über einen Raum verteilt sind, nennt man <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Felder</a>, und je nachdem, ob die betreffenden Größen gerichtet oder ungerichtet sind, unterscheidet man die Felder noch einmal in <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfelder</a> und <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">skalare Felder</a>.

Größen, die wie die Masse, Ladung, Dichte oder Temperatur keine Richtung besitzen und sich allein mit Hilfe einer einzigen Zahl vollständig beschreiben lassen, werden auch als <a href="Skalar_(Physik)" class="mw-redirect" title="Skalar (Physik)">Skalare</a> bezeichnet, und alle Felder, die Orten im Raum solche richtungslosen Größen zuordnen, dementsprechend als <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">skalare Felder</a>. So kann man zum Beispiel jedem Punkt der Erdoberfläche seine Höhe über dem Meeresspiegel zuordnen und erhält damit ein skalares <a href="H%C3%B6henfeld" title="Höhenfeld">Höhenfeld</a>, oder aber man ordnet z. B. jedem Punkt im Raum seine Dichte zu und erhält damit ein <a href="Dichtefeld" class="mw-redirect" title="Dichtefeld">Dichtefeld</a>.

Kräfte dagegen sind <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a>, also gerichtete Größen, und wenn man jedem Punkt im Raum einen solchen Vektor anstatt eines Skalars zuordnet, erhält man statt eines skalaren Feldes ein <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a>. Im Fall der Schwerkraft beispielsweise zeigen alle Schwerkraftvektoren stets in Richtung des Erdmittelpunkts.

Vektorfelder, deren Elemente Kräfte sind, heißen <a href="Kraftfeld_(Physik)" class="mw-redirect" title="Kraftfeld (Physik)">Kraftfelder</a>, und so kann die obige Gleichung auch vektoriell geschrieben werden, mit

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7b202a8eaba4b424be52bcbaa043727b6ad9860.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> das Kraftfeld und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> das Beschleunigungsfeld ist. Ein Beschleunigungsfeld hängt in der Regel von der Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> im Raum ab, was bedeutet, dass sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> Funktionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> sind, es also genauer heißen müsste:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=m{\vec {a}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dfffcdcc15481d8954db45773ad5e16dbdc76f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.204ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=m{\vec {a}}({\vec {r}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Potential_am_Beispiel_des_elektrischen_und_des_Gravitationsfeldes">Das Potential am Beispiel des elektrischen und des Gravitationsfeldes</h2></div>

Handelt es sich um eine <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservative Kraft</a> wie etwa die <a href="Coulombkraft" class="mw-redirect" title="Coulombkraft">Coulombkraft</a> oder <a href="Gravitation" title="Gravitation">Schwerkraft</a>, so kann ein Kraftfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> auch mithilfe eines skalaren Feldes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> ausgedrückt werden, für das dann beispielsweise die folgenden Gleichungen gelten (im Fall des <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen Felds</a> übernimmt die <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">Ladung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> die Rolle der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> im <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfeld</a>):

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F_{E}}}({\vec {r}})=-q{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d09390805eaaa4bd4bfbae641f3b54b51555ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.637ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F_{E}}}({\vec {r}})=-q{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> bzw.</dd>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F_{G}}}({\vec {r}})=-m{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e70e001c236e8af30c529b4d4d1e40c9dc99a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.644ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F_{G}}}({\vec {r}})=-m{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ein skalares Feld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">, das diese Beziehung erfüllt, heißt Potential des Vektorfelds <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy">.

Dabei ist

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65eeb56775c5bb9a9645ca773c8b8f744ca6ce0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}}" loading="lazy"> (meist einfach nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"> geschrieben) der <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a>

<ul><li>der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a07df51ca718e419cee750b50f7d781b944ae41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.646ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> der mit seiner Hilfe gebildete <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> des Feldes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

Die Anwendung des Nabla-Operators auf das Skalarfeld erzeugt ein Vektorfeld, das für jeden Punkt des Raums eine Aussage über die Änderungsrate des Skalarfeldes in Richtung seines steilsten Anstiegs macht.

Das Potential lässt sich damit gut als eine hügelige Landschaft veranschaulichen, etwa so wie im Fall des zuvor erwähnten Höhenfelds: Die Höhe eines Punkts ist dann sein Potentialwert, und die Kraft, die auf einen Körper in diesem Punkt wirkt, dagegen derjenige Vektor, der in Richtung des steilsten Potentialgefälles zeigt, also genau entgegengesetzt zur Richtung des steilsten Potentialanstiegs.

Die Kraft auf eine Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> im elektrischen Feld bzw. auf eine Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> im <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfeld</a> ergibt sich zu

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{E}({\vec {r}})=-q{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})=q\cdot {\vec {E}}({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {F}}_{G}({\vec {r}})=-m{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})=m\cdot {\vec {a}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4c0ec556799a4527a584b4e077cb02ea3b2d002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:69.864ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{E}({\vec {r}})=-q{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})=q\cdot {\vec {E}}({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {F}}_{G}({\vec {r}})=-m{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})=m\cdot {\vec {a}}({\vec {r}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die besondere Bedeutung des Potentials liegt darin, dass es als skalares Feld – im Vergleich zu den drei Komponenten eines Kraftfeldes – nur eine Komponente besitzt, wodurch sich viele Berechnungen vereinfachen. Außerdem liefert sein Produkt mit der Ladung bzw. Masse unmittelbar die <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentielle Energie</a> des betreffenden Probekörpers, und so gilt zum Beispiel in der <a href="Elektrostatik" title="Elektrostatik">Elektrostatik</a> für die potentielle Energie und das <a href="Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">elektrische Potential</a> die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=q\cdot \Phi ({\vec {r}})\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3976afd4bf563a6a9fa32c28e6e013abff5c372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.268ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=q\cdot \Phi ({\vec {r}})\,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im allgemeineren Sinne werden auch andere skalare Felder, aus denen sich gemäß obenstehender Gleichung Vektorfelder ableiten lassen, als Potentiale bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zentralpotential">Zentralpotential</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Zentralkraft" title="Zentralkraft">Zentralkraft</a></div>

Unter einem Zentralpotential versteht man ein Potential, das nur vom Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vert {\vec {r}}\vert }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vert {\vec {r}}\vert }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f08c62b3c75504e1fe82b1bc1dd43b60b1bfd3d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.517ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \vert {\vec {r}}\vert }" loading="lazy"> zum Kraftzentrum abhängt. Es gilt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vert {\vec {r}}_{1}\vert =\vert {\vec {r}}_{2}\vert }">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vert {\vec {r}}_{1}\vert =\vert {\vec {r}}_{2}\vert }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67c2b30d993a00e4ed8cef1e22ab3a1dd990f380.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \vert {\vec {r}}_{1}\vert =\vert {\vec {r}}_{2}\vert }" loading="lazy"> also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V({\vec {r_{1}}})=V({\vec {r_{2}}})}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V({\vec {r_{1}}})=V({\vec {r_{2}}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2beddb0a620662a0febdbff0c8cf2208d8a42948.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.939ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle V({\vec {r_{1}}})=V({\vec {r_{2}}})}" loading="lazy">. Bewegungen in einem Zentralpotential unterliegen einer konservativen <a href="Zentralkraft" title="Zentralkraft">Zentralkraft</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zu_den_Vorzeichen">Zu den Vorzeichen</h3></div>

Die Minuszeichen in den Gleichungen

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-k\,{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {a}}({\vec {r}})=-{\frac {k}{m}}{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35375c98199d7125b8ee2ce6541fe2e95a05f00c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:45.941ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-k\,{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {a}}({\vec {r}})=-{\frac {k}{m}}{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

drücken aus, dass die konservative Kraft auf eine positive Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> (positive elektrische Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> bzw. Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">) – dem <a href="Prinzip_des_kleinsten_Zwanges" title="Prinzip des kleinsten Zwanges">Prinzip des kleinsten Zwanges</a> folgend – stets in Richtung abnehmender potentieller Energie wirkt, also der Richtung ihres Gradienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a07df51ca718e419cee750b50f7d781b944ae41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.646ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> bzw. maximalen Energieanstiegs entgegengesetzt. Im anschaulichen Bild eines Potentialgebirges wirken Schwerebeschleunigung und elektrische Feldstärke (siehe nebenstehende Abb.) demnach stets „bergab“.

Für das elektrische Feld allerdings können sich die Verhältnisse dadurch, dass auch negative Zentral- und Probeladungen denkbar sind, noch einmal komplizieren. So nimmt, wenn eine negative Probeladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0165a313dc76b84047e2aeb59b7459035ce5c61a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.878ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -q}" loading="lazy"> sich einer negativen Zentralladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ff459062914e488a99e0f453ee6fe6b1315a34d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.646ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -Q}" loading="lazy"> nähert, die potentielle Energie der Probeladung dabei zu, obwohl sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0165a313dc76b84047e2aeb59b7459035ce5c61a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.878ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -q}" loading="lazy"> dabei in Feldlinienrichtung bewegt, also in Richtung fallenden elektrischen Potentials. Das Paradox löst sich auf, sobald man berücksichtigt, dass das Produkt zweier negativer Größen wieder eine positive Größe ergibt. Die nebenstehende Abb. fasst den Zusammenhang zwischen potentieller Energie und elektrischem Potential für die vier denkbaren Vorzeichenkonstellationen des elektrischen Feldes noch einmal zusammen. Wie zu sehen, ist die potentielle Energie dabei stets vom Vorzeichen beider Ladungen abhängig, der Potentialverlauf dagegen allein vom Vorzeichen der Zentralladung.

Ein konkretes Anwendungsbeispiel dieser Gleichungen veranschaulicht den Inhalt dieses Zusammenhangs noch einmal etwas deutlicher: Da die positive Richtung von Koordinatensystemen auf der Erdoberfläche stets senkrecht nach oben zeigt und einen Körper höher zu heben heißt, dass er damit auch mehr potentielle Energie bzw. ein höheres Potential erlangt, ist dieses Potential in der Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> über dem Erdboden mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> als Betrag der <a href="Erdbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Erdbeschleunigung">Erdbeschleunigung</a> annähernd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (h)=g\cdot h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (h)=g\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258f9c2a65d552f89e51c366a5e34645c2951467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (h)=g\cdot h}" loading="lazy">.

Betrachtet man das <a href="Schwerepotential" class="mw-redirect" title="Schwerepotential">Schwerepotential</a> des <a href="Erdschwerefeld" class="mw-redirect" title="Erdschwerefeld">Erdschwerefeldes</a> als annäherndes Zentralpotential (s. o.), also allein vom Abstand zum Erdmittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> bzw. von der Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> abhängig, lässt sich der Gradient von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (h)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (h)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35fa17a4d8d4c52e93b89caab8aad6a130c17d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.826ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (h)}" loading="lazy"> auf den Differentialquotienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \Phi (h)/\mathrm {d} h}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \Phi (h)/\mathrm {d} h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa5c7118df6d3a84928d7db9e0d4e8d7a6f70c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \Phi (h)/\mathrm {d} h}" loading="lazy"> reduzieren, und man erhält als Entsprechung der obigen Gleichungen die Beziehung:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}(h)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}\Phi (h)\cdot {\vec {e}}_{r}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}g\cdot h\cdot {\vec {e}}_{r}={\vec {g}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb0643ec390387265c365ed9081d1049a1a1645b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:42.111ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}(h)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}\Phi (h)\cdot {\vec {e}}_{r}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}g\cdot h\cdot {\vec {e}}_{r}={\vec {g}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}=-g{\vec {e}}_{r}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}=-g{\vec {e}}_{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd1738bc09e2829bff69ca3b1093f58108403290.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.394ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}=-g{\vec {e}}_{r}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie am Minuszeichen zu erkennen, ist die Richtung der Schwerebeschleunigung der positiven Richtung des Koordinatensystems annähernd entgegengesetzt, also wie erwartet in Richtung Erdmittelpunkt zeigend. Die aus dem Schwerepotential errechnete Beschleunigung ist in diesem Falle also gerade gleich der Erdbeschleunigung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potentielle_Energie_und_Potential">Potentielle Energie und Potential</h2></div>

<a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">Potentielle Energie</a> und Potential unterscheiden sich darin, dass potentielle Energie sich beispielsweise im <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfeld</a> auf eine <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> und im <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen Feld</a> auf eine <a href="Ladung_(Physik)" title="Ladung (Physik)">Ladung</a> bezieht und von der Größe dieser Masse oder Ladung abhängt, während das Potential eine Eigenschaft des Kraftfelds unabhängig von einer Massen- oder Ladungsgröße des Probekörpers beschreibt.

<dl><dd>Das Potential ist eine dem Kraftfeld äquivalente Felddarstellung.</dd></dl>

Der oben erwähnte Zusammenhang ermöglicht es, ein dreidimensionales konservatives Kraftfeld mit Hilfe von skalaren Feldern darzustellen, ohne dass dabei Informationen über das Feld verloren gehen. Das führt zur Vereinfachung vieler Rechnungen. Allerdings ist der Rückschluss auf den das Feld verursachenden Körper nicht mehr eindeutig. So ist etwa das äußere Gravitationspotential einer homogenen Vollkugel dem Potential einer Punktmasse äquivalent.

Verbunden sind die beiden Größen über den Begriff der <a href="Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a>:

<ul><li>Die Energie ist aus physikalischer Sicht die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten.</li>

<li>Das Potential dient zur Beschreibung der Fähigkeit eines Feldes, einen Körper Arbeit verrichten zu lassen.</li></ul>

Der Zusammenhang zwischen potentieller Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/896062530de98a0b0831a83edabfddd2fa49d356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.82ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V({\vec {r}})}" loading="lazy"> und dem Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> lautet

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V({\vec {r}})=q\cdot \Phi ({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad V({\vec {r}})=m\cdot \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58fdae2a6bb74bd642087b11bfb99afe4ba7756f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.02ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V({\vec {r}})=q\cdot \Phi ({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad V({\vec {r}})=m\cdot \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der erste Ausdruck bezieht sich auf ein elektrisches Feld (Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy">), der zweite auf ein Gravitationsfeld (Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potentialdifferenz">Potentialdifferenz</h2></div>

Von Potentialdifferenz oder Potentialunterschied spricht man immer dann, wenn zwei oder mehr Objekte zueinander unterschiedliche Potentiale besitzen. Eine Potentialdifferenz ist also ein körperunabhängiges Maß für die Stärke eines Feldes und beschreibt das Arbeitsvermögen eines Objektes in diesem. Entlang von <a href="%C3%84quipotentialfl%C3%A4che" title="Äquipotentialfläche">Äquipotentialflächen</a> (Flächen gleichen Potentials) herrscht somit keine Potentialdifferenz: Objekte (Körper, Ladungen) können entlang dieser ohne Arbeitsaufwand verschoben werden. In der Elektrostatik ist die Potentialdifferenz definiert als <a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">elektrische Spannung</a> zwischen zwei isolierten Ladungsträgern (Objekten unterschiedlichen Potentials):

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=\Phi ({\vec {r}}_{1})-\Phi ({\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b070bfad7a10099471c8bb94fb34ca3b32bd3101.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.251ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U=\Phi ({\vec {r}}_{1})-\Phi ({\vec {r}}_{2})}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_der_Ladungsverteilung">Zusammenhang mit der Ladungsverteilung</h2></div>

<th>Zeichen</th>

<th>Beschreibung

</th></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"></td>

<td><a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></td>

<td><a href="Permittivit%C3%A4t" title="Permittivität">Permittivität</a>

</td></tr>

<tr>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></td>

<td>Potential

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstante</a>

</td></tr>

<tr>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c80c262b5476b043478d88adb73498aac8b80de9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Ladungstr%C3%A4gerdichte" title="Ladungsträgerdichte">Ladungs-</a> bzw. Massendichte

</td></tr>

</tbody></table>

Der Zusammenhang des Potentials mit der Ladungs- bzw. Massendichte wird für die Coulomb- und Gravitationskraft durch die <a href="Poisson-Gleichung" title="Poisson-Gleichung">Poisson-Gleichung</a> hergestellt, eine <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partielle Differentialgleichung</a> zweiter Ordnung. In der <a href="Elektrostatik" title="Elektrostatik">Elektrostatik</a> lautet sie

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/938b393dc4a29f584f4cbda66d485961e222444e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.623ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wohingegen sie in der klassischen Gravitationstheorie die Form

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99be281260edfaa8c7b583bf4f3d403077f2cf10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

besitzt.

Damit die oben angegebene Gleichung in der Elektrostatik gilt, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> konstant sein.

Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, muss stattdessen mit folgendem Ausdruck gerechnet werden:

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{div}}\left[\varepsilon \cdot {\text{grad}}\ \Phi ({\vec {r}})\right]=-\rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90337593a2992721efb665811b2a63841bde8a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.571ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{div}}\left[\varepsilon \cdot {\text{grad}}\ \Phi ({\vec {r}})\right]=-\rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel:_Gravitationspotential_einer_homogenen_Kugel">Beispiel: Gravitationspotential einer homogenen Kugel</h2></div>

Da das Lösen der Poisson-Gleichung bereits in einfachen Fällen relativ aufwendig ist, soll hier ein ausführliches Beispiel vorgeführt werden. Dazu betrachten wir einen idealisierten Himmelskörper als perfekte <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a> mit homogener Dichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> und einem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Äußere_Lösung">Äußere Lösung</h3></div>

Im Außenraum um die Kugel herum ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r>R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r>R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8971c9610113faec012a76ec2d47fa6235e16d2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r>R}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ba6310b27df5f9c9b0b1732e08cce27b99d68cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.463ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho =0}" loading="lazy">, so dass die Poisson-Gleichung in die <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a> übergeht

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a8c3a55e361534c4957900b49a60e31a9f711a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Da das gegebene Problem eine Kugelsymmetrie besitzt, können wir es vereinfachen, indem wir es in <a href="Kugelkoordinaten" title="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</a> betrachten. Dazu muss lediglich der entsprechende <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> in die Gleichung eingesetzt werden. Diese hat dann die Form

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial \varphi ^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15fa0ccb87d9bfcb85df620f5de7e4e2bb2e48ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:81.172ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial \varphi ^{2}}}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Feld kann aber offensichtlich nicht von den Winkeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta ,\varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta ,\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae3b8baf3e836ec171e5a6c6f6869dddd2417a2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.645ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \theta ,\varphi }" loading="lazy"> abhängen, da die Kugel symmetrisch ist. Das bedeutet, dass die Ableitungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> nach den Winkelkoordinaten verschwinden und nur der radiale Teil übrig bleibt.

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e145d5e085cd700d601e5343d146c0231187fa7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.923ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

die sich durch beidseitiges Multiplizieren mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a363a15442d031416d1eb62254a9c726e3f6c66c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r^{2}}" loading="lazy"> weiter vereinfacht.

Integration nach r liefert

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)\mathrm {d} r=\int 0\,\mathrm {d} r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e2c7de4749182c9bda48f4e0b524dc5755f0307.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.858ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)\mathrm {d} r=\int 0\,\mathrm {d} r}" loading="lazy"></dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}=\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7125fa585ae3a6d65cdb5c82d0d9557148aeca6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.554ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}=\alpha }" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> eine Integrationskonstante ist. Weitere Integration nach r liefert

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\mathrm {d} r=\int {\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathrm {d} r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbda3382698dd50ce069e15a8a47cc8f43916f89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.746ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\mathrm {d} r=\int {\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathrm {d} r}" loading="lazy"></dd></dl>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {\alpha }{r}}+\beta ={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}+\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/416a11064de18437352a72ef0b7311ba7b67afe0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.708ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {\alpha }{r}}+\beta ={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}+\beta }" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-\alpha }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a27afe58a4139af47caec151dee5da92160fcdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.882ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-\alpha }" loading="lazy">, damit das Minuszeichen verschwindet und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> wieder eine Integrationskonstante ist.

Weil das Potential in unendlicher Entfernung gegen Null gehen soll, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}" loading="lazy"> sein. Für die äußere Lösung gilt also zunächst

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c336bb99713e3edf9dde4310e15ceba241a6a91b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.133ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Um die Konstante zu berechnen, müssen wir jedoch zuerst die innere Lösung bestimmen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Innere_Lösung">Innere Lösung</h3></div>

Im Innern der Kugel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r<R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r<R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bda3f5af44b388094e37b9ddeb9524a3433ef30c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r<R}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})=\rho }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})=\rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4993678a43adc000f2d300e5ab9d8848f728b914.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.535ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})=\rho }" loading="lazy">, so dass die Poisson-Gleichung gilt, mit

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e5ec3acf36c4e2e2d102138d35007a48c8faeba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho }" loading="lazy">.</dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)=4\pi G\rho r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dd40721445e267edaf1a79a1b719549e804a547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.703ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\right)=4\pi G\rho r^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Zweimalige Integration nach r liefert auf dieselbe Weise wie zuvor

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}-{\frac {A}{r}}+B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/883889e8cea5bacbb9dce9888d94d476f63ee566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.295ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}-{\frac {A}{r}}+B}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> wieder Integrationskonstanten sind. Da das Potential im Mittelpunkt der Kugel (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=0}" loading="lazy">) einen endlichen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32f33de1903508a18f10c5fc11d788de19e043dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.732ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{0}}" loading="lazy"> annehmen sollte, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c34024483e6fb7c89e45aff3882ebf11d95a00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=0}" loading="lazy"> sein. Andernfalls würde das Potential unendlich groß. Wir haben also

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (0)=\Phi _{0}=B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c698c42be792b95f142931851fd267785edb115.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.343ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (0)=\Phi _{0}=B}" loading="lazy">.</dd></dl>

und somit

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1489557c93b04539b9900caf04db9c776b020656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.844ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_der_Konstanten">Bestimmung der Konstanten</h3></div>

Wir unterscheiden zunächst

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f178237d0d4dd5df85c2ba734f8d4dbd21b5115.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.597ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für die äußere Lösung und

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{I}({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2861f80f98aaa7fca4001e4268c7150e681ab3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.905ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{I}({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

für die innere Lösung. Am Rand der Kugel muss das innere Potential glatt in das Äußere übergehen. Das bedeutet, dass die ersten Ableitungen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a088bb7b6b4be9ff6b0fdb33fc1dd53af91e356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=R}" loading="lazy"> übereinstimmen müssen.

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{A}({\vec {r}})}{\mathrm {d} r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{I}({\vec {r}})}{\mathrm {d} r}}\right|_{r=R}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13fef29a5601004e06e8d33868a5d372e77cc6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.595ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{A}({\vec {r}})}{\mathrm {d} r}}\right|_{r=R}=\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi _{I}({\vec {r}})}{\mathrm {d} r}}\right|_{r=R}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {\tilde {\alpha }}{R^{2}}}={\frac {4}{3}}\pi G\rho R={\frac {GM}{R^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c66700720ca611ebfd3fdc91d4d25b88c28c7f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.888ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {\tilde {\alpha }}{R^{2}}}={\frac {4}{3}}\pi G\rho R={\frac {GM}{R^{2}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei wir hier benutzen, dass die Masse das Produkt aus Volumen und Dichte ist, mit

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=V\rho ={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4d1b91a6d8eb260e4f15bcb686d5bfda62488ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.979ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle M=V\rho ={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }" loading="lazy">.</dd></dl>

Hieraus ergibt sich

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-GM}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd03a678bfcf259acdd8a3de4d1f6e108a065587.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.663ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=-GM}" loading="lazy">,</dd></dl>

so dass sich die bekannte äußere Lösung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e09e3c1586e33c8b334571f68b603d18279a6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.187ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt. Um die Konstante der inneren Lösung zu bestimmen, benutzen wir die Tatsache, dass das Potential <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a> sein muss, die beiden Lösungen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a088bb7b6b4be9ff6b0fdb33fc1dd53af91e356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=R}" loading="lazy"> also identisch sein müssen, das heißt, es gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {R}})=\Phi _{I}({\vec {R}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d534bfda7bfcd423ea1750b335f5f9f3c2ebd1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.127ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{A}({\vec {R}})=\Phi _{I}({\vec {R}})}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {GM}{R}}={\frac {2}{3}}\pi G\rho R^{2}+\Phi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa4864babecb5fb36af46ef0bf2ec39242779d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.762ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {GM}{R}}={\frac {2}{3}}\pi G\rho R^{2}+\Phi _{0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Und damit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{0}=-{\frac {3GM}{2R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecadb32790e8151cde34d1aec30db937e19d38dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.906ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{0}=-{\frac {3GM}{2R}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit ergibt sich für die innere Lösung schließlich

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

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</msup>

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</msub>

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</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{I}({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}={\frac {GM}{2R^{3}}}r^{2}-{\frac {3GM}{2R}}={\frac {GM}{2R}}\left({\frac {r^{2}}{R^{2}}}-3\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f554f59a23a641d877810ca602a4926481736db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.988ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{I}({\vec {r}})={\frac {2}{3}}\pi G\rho r^{2}+\Phi _{0}={\frac {GM}{2R^{3}}}r^{2}-{\frac {3GM}{2R}}={\frac {GM}{2R}}\left({\frac {r^{2}}{R^{2}}}-3\right)}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei der erste Summand wieder über das Volumen umgeschrieben wurde.

Die innere Lösung entspricht einem harmonischen <a href="Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">Oszillatorpotential</a>. Das bedeutet, dass wenn man ein Loch durch einen homogenen Himmelskörper (einen Mond oder kleinen Planeten) bohrte und einen Gegenstand hineinfallen ließe, dieser durch den Mittelpunkt hin und her schwingen (fallen) würde. Unter Annahme einer reibungsfreien Bewegung ergibt sich die Ortsfunktion des Körpers zu

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)=R\cdot \cos \left({\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}\cdot t\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b400763a8380b07232cd05d362f4fe769d49cb7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.626ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle r(t)=R\cdot \cos \left({\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}\cdot t\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwerkraft_in_einer_Hohlkugel">Schwerkraft in einer Hohlkugel</h3></div>

Wie die Situation im Innern einer hohlen Kugel aussieht, lässt sich nun auch direkt aus unserer Lösung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ba6310b27df5f9c9b0b1732e08cce27b99d68cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.463ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho =0}" loading="lazy"> ablesen. Allgemein hatten wir

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}+\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb6e89d4e6872b02cde54e9489eb84b2034a6413.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.305ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}+\beta }" loading="lazy">,</dd></dl>

da wir uns nun im Innern der Kugel befinden, können wir nicht ins Unendliche hinausgehen, wodurch vorher <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> verschwunden ist. Allerdings muss das Potential im Mittelpunkt wieder einen endlichen Wert annehmen, so dass dieses Mal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6937d5c1e9a77efac687b1b55129c404121d345c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\alpha }}=0}" loading="lazy"> wird. Dann ist das Potential

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10cc8b9594f429112e3adcfa6a3fd160f34cd528.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\beta }" loading="lazy">,</dd></dl>

also konstant. Die Ableitung des Potentials nach dem Radius ergibt die Beschleunigung – die Ableitung einer Konstanten ist jedoch Null. Also ist man im Innern einer hohlen Kugel schwerelos. Dies ist dadurch zu verstehen, dass gegenüberliegende Teilchen in den Wänden ihre Gravitation gerade gegenseitig aufheben. Handelte es sich nicht um eine perfekte Kugel, so wäre dies nicht der Fall und man würde kleine Beschleunigungen erfahren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Potenzial" class="extiw external" title="wikt:Potenzial">Wiktionary: Potenzial</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>Helmut Föll: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_7.html">Potential – Definition math.-vektoriell.</a> In: Einführung in die Materialwissenschaft II. Abgerufen am 1. April 2009.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APotential+%28Physik%29&rft.title=Potential+%E2%80%93+Definition+math.-vektoriell&rft.description=Potential+%E2%80%93+Definition+math.-vektoriell&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.tf.uni-kiel.de%2Fmatwis%2Famat%2Fmw1_ge%2Fkap_2%2Fbasics%2Fb2_1_7.html&rft.creator=Helmut+F%C3%B6ll"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=EZ3VoXHh5ucC&pg=PA188&q=%22wird+die+Potentielle+Energie%22+potential#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> David Halliday, Robert Resnick: <cite style="font-style:italic">Physik, Teil 2</cite>. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013897-2, S. 869 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=Wq6qEbne_IcC&pg=PA869#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potential+%28Physik%29&rft.au=David+Halliday%2C+Robert+Resnick&rft.btitle=Physik%2C+Teil+2&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.isbn=3110138972&rft.pages=869&rft.pub=Walter+de+Gruyter" style="display:none">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotential</a></li>

<li><a href="Retardiertes_Potential" title="Retardiertes Potential">Retardiertes Potential</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>